Pues pongo por aquí una duda que he tenido siempre que he dado álgebra que es lo que a veces comentan que el cuerpo de números complejos es el último por que este se encuentre algebraciamente cerrado.

Esto significa que para cualquier polinomio, al menos un valor de dicho cuerpo siempre dará como resultado 0, por ejemplo x^2+1 no lo estará en los números reales ya que ningún número real dará 0 con dicho polinomio, sin embargo para los complejos x=i.

Ahora bien x representa a un número finito de variables en las que entiendo que podría haber elementos que no están definidos dentro de ese cuerpo (véase el conjunto de los n/0, ln(0), o factoriales de un número negativo), si tomamos un conjunto de variables de esos elementos dicho polimonio no dará nunca 0).

Entonces no sé si es que esos elementos matemáticamente no se consideran una variable o existe algún nuevo cuerpo que incluya estos elementos (he mirado en la wikipedia y aparentemente no).

Por otra parte, ¿no habrían de ser dichos elementos considerados números? Número se define como el valor de una medición, pero si a los números complejos se les considera así entiendo que habría de hacerse lo mismo con esos casos, ya que no puedes medir 1+i metros por ejemplo. Igual como no tienen (aún) ningún significado físico por ello no se los considera números...

Por otra parte, ¿hay casos en física en que se encuentre que las fórmulas den estas indeterminaciones? Si no, ¿podrían llegar a darse?

¿Matemáticos o físicos por aquí que me respondan?

Saludos.

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Mmm, tu pregunta es un poco lío, jejeje.

En una ecuación como x^2+1=0, "x" representa una variable. Quiere decir que "x" toma un valor dentro un conjunto, si ese conjunto son los números reales, esta ecuación no tiene solución. En cambio si tomas el conjunto de los números complejos (que es una extensión de los números reales), sí que tiene solución. Podrías tomar otros conjuntos, con tal de que la multiplicación y la suma estén definidos en ellos, y exista ese elemento que has llamado "1", y ese elemento que has llamado "0" (y que si sigues la notación habitual, serán el elemento neutro de la suma y de la multiplicación de tu conjunto). Quizás ese otro conjunto no tenga solución para esa ecuación, o quizás tenga múltiples soluciones. Lo que sí que hay que hacer es tener claro a que nos referimos con lo que escribimos. 1+1 = 0, pero solo si te digo a continuación de que estoy hablando de los naturales módulo 2. Habitualmente damos por supuesto que las variables son números reales, pero a veces no lo son.

Entonces cuando dices que si "x" puede tomar valores de otro cuerpo... pues bueno, lo que hay que decir es a que nos referimos con la ecuación que hemos escrito, si es para reales o para naturales modulo 5 (en cuyo caso, el "2" sería solución), o para el conjunto que quieras. Lo normal es que la ecuación tenga algún sentido y la quieras para algún uso en concreto (si "x" son personas, no vas a usar numeros imaginarios); lo que no es tan normal es primero escribir la ecuación y luego pensar para que la quiero usar.

Respecto a la física, las mediciones corresponderán a lo que te de el aparato de medida. Si el aparato mide metros, pues solo te devuelve reales. A lo mejor si mides una impedancia... pues es útil usar números complejos. Pero lo que no sale nunca es una regla que de repente de devuelva metros imaginarios... No veo cual es la indeterminación en la que piensas.

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Más que a si se puede usar de otro cuerpo, que siempre que lo definamos es que sí, es si los elementos que comento (n/0, ln(0), factorial de un número negativo) no formarían un cuerpo aparte ya que dichos ¿valores? (¿lo llegan a ser?) no pueden representarse tampoco con un número complejo.

Como se comenta que el cuerpo de números complejos es el que abarca todo no sé entonces si es por que expresiones de dicho tipo no se consideran valores por alguna razón (aunque según veo yo si un número complejo es un valor eso también debería de serlo ya que como has comentado no se pueden medir metros imaginarios, aún si esas expresiones no tienen nigún sentido físico).

A lo que me refería con indeterminación en física es si se han dado casos de fórmulas que según alguna disciplina física clásica se haya determinado una cierta fórmula que no pudiera dar un ¿valor? como los que comento, pero que, al intentar trasladarla a otro ámbito (física cuántica, teoría de cuerdas, etc) te encuentras con un resultado de ese tipo que no implica que la teoría inicial esté realmente mal si no que solo sirve en cierto ámbito, de una forma parecida por la que no es posible aplicar la mecánica clásica en un ámbito cuántico.

Un saludo.

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Dado que los números complejos engloban a los reales, es posible extender las fórmulas de los números reales a los complejos... si con esa extensión logras explicar algún fenómeno, puede ser útil, pero luego tienes que dar una interpretación a lo que estás haciendo.

Respecto a 1/0, ln(0), etc. son cantidades que no están bien definidas dentro de los complejos.

Los complejos tampoco abarcan "todo". Si quieres un conjunto en el que la multiplicación no sea conmutativa, pues los complejos no te valen (y ahí puedes usar matrices, por ejemplo)

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Hola,

Por una parte, los numeros complejos pueden tener significado fisico igual que los reales o los naturales. En electromagnetismo o electronica tipicamente representan la fase y la amplitud de una onda. A pesar de lo de imaginarios no hay tanto misterio con los complejos, existe un isomorfismo con R2. Cualquier variable fisica que requiera dos dimensiones para ser representada, puede hacerse con la forma compleja.

Y por otro lado creo que estas mezclando indeterminaciones con la multiplicidad de los polinomios. El hecho de tener menos raices que orden no implica ninguna indeterminacion, los numeros implicados siempre son finitos. Por otra parte, el teorema fundamental del algebra te dice que no tienes que ir mas alla de los complejos para obtener tantas raices como orden tenga el polinomio. Y nuevamente, los numeros implicados son siempre finitos.

Las indeterminaciones que sugieres: 1/0, ln(0), sin embargo, tienen que ver con la aparicion de infinitos (ademas de en limites tambien aparecen en sucesiones, series, integrales.) Y esto en ciencias no es nada deseable, de hecho es un absurdo, porque al hacer medidas experimentales o bien trabajas con magnitudes mesurables o no podras afirmar nada.

Este fue un problema clasico en la electrodinamica cuantica de Dirac y Heisemberg, la teoria daba infinitos cuando el experimento resultaba en valores concretos. Hicieron falta 30 años para que Feynman, Tomonaga y Schwinger dieran con las tecnicas matematicas necesarias que eliminaran la aparicion de los infinitos en los calculos teoricos.

Las indeterminaciones tienen ese nombre porque no están determinadas.
1/x cuando se acerca a 0 es infinito o -infinito, este comportamiento es bastante bueno. En el plano complejo el 0 sería un polo.

exp(1/x^2) en la recta está claro infinito, en el plano complejo sin embargo es una singularidad esencial, y eso quiere decir que para cualquier entorno de 0 que elijas tiene de imagen casi todo el plano complejo. http://en.wikipedia.org/wiki/Picard%27s_great_theorem
Podrias intentar extender tu espacio, pero se rompería en términos de continuidad o diferenciabilidad. Tienes que redefinir cómo funcionan tus operadores aritméticos y que cumplan con las reglas para que sea cuerpo.

Hay casos en los que sí te interesa extender tu espacio, por ejemplo L1, L2,... son espacios de funciones que en principio van de R en R y luego se extienden para ir de R en R+{+-inf}....
http://en.wikipedia.org/wiki/L2_space

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Conservando.